Calcolo Esempi

$y = e^{9 \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{9 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.9

$9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.12

Sposta $9$ alla sinistra di $e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$