Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.8.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 2 x$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$