Calcolo Esempi

$\cos (x) + \sqrt{y} = 5$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Passaggio 3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Passaggio 3.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x)$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x) = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Somma $\sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \sin (x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica $\sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = 2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riordina i fattori in $2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$