Calcolo Esempi

$\ln (y) = x \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$1 + \ln (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (1 + \ln (x)) y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(1 + \ln (x)) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 1 y + \ln (x) y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y' = y + \ln (x) y$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riordina i fattori in $y + \ln (x) y$ .

$y' = y + y \ln (x)$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$