Calcolo Esempi

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \tan (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica $1 + \tan (y)$ per $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $\tan (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $\tan (y)$ in termini di seno e coseno.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Passaggio 5.3.4

Converti da $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Passaggio 5.4

Dividi per $x \sec^{2} (y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x \sec^{2} (y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Scomponi $\sec (y)$ da $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.5

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.6

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.8

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.9

$\frac{1}{x}$ e $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10

Moltiplica $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.10.1

$\cos (x)$ e $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10.2

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ e $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10.3

Eleva $\cos (y)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10.4

Eleva $\cos (y)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.10.6

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.11.1

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.11.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.12

$x$ e $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.13

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.14

Scomponi $\sec (y)$ da $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

Passaggio 5.4.3.1.15

Frazioni separate.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Passaggio 5.4.3.1.16

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Passaggio 5.4.3.1.17

Riscrivi $\tan (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Passaggio 5.4.3.1.18

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

Passaggio 5.4.3.1.19

Scrivi $\cos (y)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Passaggio 5.4.3.1.20

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.20.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Passaggio 5.4.3.1.20.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.21

Frazioni separate.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.22

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.23

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.24

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.26

$\cos (y)$ e $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

Passaggio 5.4.3.1.27

$\sin (y)$ e $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$