Calcolo Esempi

$\cos (x^{2}) = x e^{y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.2.2.2

Riordina i fattori di $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$- 2 x \sin (x^{2})$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 x \sin (x^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$ .

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Passaggio 5.3

Sottrai $e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$

Passaggio 5.4

Dividi per $x e^{y}$ ciascun termine in $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x e^{y}$ ciascun termine in $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$