Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} \sin (x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 2$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\cos (x - 2)$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \cos (x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 2)}{2}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$