Calcolo Esempi

$y = - \frac{x}{y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $\frac{x}{y}$ per $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ nel numeratore.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- (- x y')$ .

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Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Passaggio 5.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Passaggio 5.2.1.4

Riordina $x$ e $y'$ .

$y' y^{2} = - y + y' x$

Passaggio 5.2.1.5

Riordina $- y$ e $y' x$ .

$y' y^{2} = y' x - y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $y' x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' y^{2} - y' x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (y^{2} - x) = - y$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $y^{2} - x$ ciascun termine in $y' (y^{2} - x) = - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $y^{2} - x$ ciascun termine in $y' (y^{2} - x) = - y$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} - x$ .

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Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$