Calcolo Esempi

$y = \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 3.8

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Passaggio 3.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Passaggio 3.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.11

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.12

Semplifica.

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Passaggio 3.12.1

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 3.12.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 3.12.3

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.12.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 3.12.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 3.12.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.4

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 3.12.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.4.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.4.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.12.5.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.12.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 3.12.5.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.12.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 3.12.5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.12.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 3.12.6

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \cos (2 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (2 x)$