Calcolo Esempi

$y = x \sqrt[3]{x + 1}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 14

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15

Per scrivere ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 16

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19

Semplifica ${(x + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x + 1) \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 20

Sposta $3$ alla sinistra di $x + 1$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x + 1)}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot 1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x + 3 x + 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.2

Somma $x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x + 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$