Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x + x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - (e^{x} e^{x}) + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} - e^{x + x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Combina i termini opposti in $e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Somma $- e^{2 x}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$