Calcolo Esempi

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2 \sin^{2} (x)$ da $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

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Passaggio 9.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$π (0)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $π$ per $0$ .

$0$

Passaggio 9.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Passaggio 9.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Passaggio 9.3

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Passaggio 9.3.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Passaggio 9.3.2.2

Somma $\frac{5 π}{6}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Passaggio 9.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 9.4

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

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Passaggio 9.4.1

Collega $1$ per $n$ .

$π (1)$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9.4.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$