Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2}}{x + 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.3

Dividi $4$ per $- 1$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Passaggio 4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Passaggio 5