Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Passaggio 5.1.2

Somma $18 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y y'$ da $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y y'$ da $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.4

Scomponi.

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Passaggio 5.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 5.5

Dividi per $2 y (x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $2 y (x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Passaggio 5.5.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Passaggio 5.5.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$