Calcolo Esempi

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 x + 4$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x + 4 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = - 4$

Passaggio 3.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 4$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ con $x = - \frac{2}{3}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Passaggio 4.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.1.7.2

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Passaggio 4.2.1.7.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 4.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 5

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ è $y = - \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Passaggio 6