Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} - 4 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 4 x$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 27$ e $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 15$ .

$- 15$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $- 15$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 0)$ .

Crescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = - 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$f' (3) = 15$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $15$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Passaggio 10