Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 18 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $3 x^{2} + 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 36 x$ .

$3 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 36 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 36 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $3 x$ da $36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (12) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (12)$ .

$3 x (x + 12) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 12$ uguale a $0$ .

$x + 12 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 12$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x + 12) = 0$ vera.

$x = 0, - 12$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 12$ .

$0, - 12$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 12)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 13$ nell'espressione.

$f' (- 13) = 3 {(- 13)}^{2} + 36 (- 13)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 13$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 13) = 3 \cdot 169 + 36 (- 13)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $169$ .

$f' (- 13) = 507 + 36 (- 13)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $36$ per $- 13$ .

$f' (- 13) = 507 - 468$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $468$ da $507$ .

$f' (- 13) = 39$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $39$ .

$39$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 13$ la derivata è $39$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 12)$ .

Crescente su $(- \infty, - 12)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 12, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f' (- 6) = 108 + 36 (- 6)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $36$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = 108 - 216$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $216$ da $108$ .

$f' (- 6) = - 108$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 108$ .

$- 108$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $- 108$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 12, 0)$ .

Decrescente su $(- 12, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 36 (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 36 (1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 + 36 (1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $36$ per $1$ .

$f' (1) = 3 + 36$

Passaggio 7.2.2

Somma $3$ e $36$ .

$f' (1) = 39$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $39$ .

$39$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $39$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 12), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- 12, 0)$

Passaggio 9