Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 3$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $3$ per $3$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$f' (- 2) = 9$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$f' (2) = 9$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 1)$

Passaggio 9