Calcolo Esempi

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{4}{3}$ .

$- {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{3}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Somma $3$ e $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ per $1$ .

$\frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64}{27} + 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12

Moltiplica $8 (- \frac{4}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12.2

$- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 1$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 32$ per $9$ .

$\frac{64 + 48 - 288 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Somma $64$ e $48$ .

$\frac{112 - 288 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $288$ da $112$ .

$\frac{- 176 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $- 176$ e $27$ .

$\frac{- 149}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{149}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$- {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 4 + 8 (2) + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$- 8 + 4 + 16 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 8$ e $4$ .

$- 4 + 16 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$12 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $12$ e $1$ .

$13$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{149}{27}), (2, 13)$

Passaggio 5