Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x$ da $36 x^{2} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x$ da $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x$ da $24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (3 x) + 12 x (2)$ .

$12 x (3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (3 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Passaggio 3.3.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Passaggio 3.3.2.1.11

Moltiplica $4 (- \frac{8}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Passaggio 3.3.2.1.11.2

$- 4$ e $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Passaggio 3.3.2.1.11.3

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Passaggio 3.3.2.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ è $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.7\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.7\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $18.4$ da $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $2.76$ .

$2.76$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.7\overline{6}$ , la derivata seconda è $2.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{2}{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

Per $- 0.\overline{3}$ , la derivata seconda è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{2}{3}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $24$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.36$ e $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2.76$ .

$2.76$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $2.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Passaggio 9