Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 3)}^{2}$ per $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 3$ da $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.16

$6$ e $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17.2.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 18 x^{2} = - 18$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 18$ ciascun termine in $- 18 x^{2} = - 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 18$ ciascun termine in $- 18 x^{2} = - 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $- 18$ per $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (1) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ è $(1, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, \frac{1}{4})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ è $(- 1, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, \frac{1}{4})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 18$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 21.78$ e $18$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1.21$ e $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $4.21$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $- 3.78$ per $74.618461$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.0506577$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 18$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $0$ e $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $18$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $0.\overline{6}$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 18$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $- 21.78$ e $18$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $1.21$ e $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $4.21$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 3.78$ per $74.618461$ .

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Passaggio 8.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 0.0506577$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ .

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Passaggio 10