Calcolo Esempi

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Passaggio 1

Scrivi $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ come funzione.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42 x^{5}$ rispetto a $x$ è $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 42 x$ rispetto a $x$ è $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- 42$ per $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $210$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $210 x^{4}$ rispetto a $x$ è $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $4$ per $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 42$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $840 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ .

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 28$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 28$ uguale a $0$ .

$x - 28 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $28$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 28$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ vera.

$x = 0, 28$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $42$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 42$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $19$ .

$f (0) = 19$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $19$ .

$19$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ è $(0, 19)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 19)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $28$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $28$ nell'espressione.

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $28$ alla potenza di $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $28$ alla potenza di $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $42$ per $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 42$ per $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 481890304$ e $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $1176$ da $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $240943976$ e $19$ .

$f (28) = 240943995$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $240943995$ .

$240943995$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $28$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ è $(28, 240943995)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(28, 240943995)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 19), (28, 240943995)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $840$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.84$ da $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.843$ .

$- 0.843$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.843$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 28)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $14$ nell'espressione.

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $14$ alla potenza di $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $14$ alla potenza di $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $840$ per $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 1152480$ e $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1152480$ .

$1152480$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $14$ , la derivata seconda è $1152480$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 28)$ .

Crescente su $(0, 28)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(28, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $28.1$ nell'espressione.

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $28.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $28.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $840$ per $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 18704518.563$ e $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

Passaggio 8.3

Per $28.1$ , la derivata seconda è $- 66564.123$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(28, \infty)$ .

Decrescente su $(28, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

Passaggio 10