Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 7}$ come ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 7)}^{2}$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 7$ da ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 7$ da ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 7$ da $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 7$ da $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 7$ da ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.16

$- 2$ e $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.3

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2} + 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.3.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.3.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5

Riscrivi $7$ come $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 7)$ come $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.10

Moltiplica $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 7$ per $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 7$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 7$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{3}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.3.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{21}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $21$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.6

$7$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

Somma $7$ e $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $\frac{3}{28}$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ è $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $21$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.8

$7$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.10.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.10.2

Somma $7$ e $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $\frac{3}{28}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Passaggio 3.3.2.4

La risposta finale è $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ è $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.62752523$ nell'espressione.

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.62752523$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $7$ da $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 1.62752523$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $2.64883837$ e $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $9.64883837$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $1.89303027$ per $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $0.00210732$ .

$0.00210732$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 1.62752523$ , la derivata seconda è $0.00210732$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $7$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 14$ e $343$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $7$ da $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $7$ da $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 0.04081632$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.62752523$ nell'espressione.

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.62752523$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $7$ da $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $1.62752523$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $2.64883837$ e $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $9.64883837$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $1.89303027$ per $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.00210732$ .

$0.00210732$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.62752523$ , la derivata seconda è $0.00210732$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Passaggio 9