Calcolo Esempi

$y = x - \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = x - \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 2.2.3

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\sin (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.5

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = x - \sin (x)$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.09983341$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty,)$ .

Decrescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.09983341$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(, \infty)$ .

Crescente su $(, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(,)$ .

$(,)$

Passaggio 9