Calcolo Esempi

Trovare la Concavità f(x)=x^(1/3)(x+4)
Passaggio 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 1.1.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.2.5
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.1.4
e .
Passaggio 1.1.1.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.1.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.6.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.1.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.1.8
e .
Passaggio 1.1.1.9
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.1.10
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.10.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.1.10.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.10.2.1
e .
Passaggio 1.1.1.10.2.2
Sposta al numeratore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.1.10.2.3
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.10.2.3.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.10.2.3.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.1.10.2.3.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.1.10.2.3.2
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 1.1.1.10.2.3.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.1.10.2.3.4
Sottrai da .
Passaggio 1.1.1.10.2.4
e .
Passaggio 1.1.1.10.2.5
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.1.10.2.6
e .
Passaggio 1.1.1.10.2.7
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.1.10.2.8
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.1.10.2.9
Somma e .
Passaggio 1.1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.2.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.2.2.4
e .
Passaggio 1.1.2.2.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.2.2.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2.6.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.2.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.2.8
e .
Passaggio 1.1.2.2.9
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2.11
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.3.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.3.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.3.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.3.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.3.5
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.5.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.1.2.3.5.2
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.5.2.1
e .
Passaggio 1.1.2.3.5.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3.5.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.3.6
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.2.3.7
e .
Passaggio 1.1.2.3.8
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.2.3.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3.9.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.3.10
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.3.11
e .
Passaggio 1.1.2.3.12
e .
Passaggio 1.1.2.3.13
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.13.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.3.13.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.3.13.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.2.3.13.4
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.3.13.5
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.3.14
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.2.3.15
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3.16
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3.17
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 1.2.2
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.2.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 1.2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Passaggio 1.2.2.3
Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.
1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.
2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.
Passaggio 1.2.2.4
presenta fattori di e .
Passaggio 1.2.2.5
Il numero non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.
Non è primo
Passaggio 1.2.2.6
Il minimo comune multiplo di si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.
Passaggio 1.2.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.2.8
Il minimo comune multiplo (mcm) di si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.
Passaggio 1.2.2.9
Il minimo comune multiplo di è la parte numerica moltiplicata per la parte variabile.
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 1.2.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1.1
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.2.3.2.1.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.2.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3.2.1.3
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1.3.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.3.2.1.3.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.2.1.3.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3.2.1.4
Dividi per .
Passaggio 1.2.3.2.1.5
Semplifica.
Passaggio 1.2.3.2.1.6
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1.6.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 1.2.3.2.1.6.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.2.1.6.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.3.1
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.3.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.3.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4
Risolvi l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.2.4.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 1.2.4.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.4.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 1.2.4.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 2
Trova il dominio di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Applica la regola per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.
Passaggio 2.1.2
Qualsiasi cosa elevata a è la base stessa.
Passaggio 2.2
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 3
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 4
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 4.2
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 4.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 4.3
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.3.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.4.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 4.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.4.3
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Passaggio 4.5
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Passaggio 4.6
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 5
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Sposta al numeratore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.2.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.2.1.2.2
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 5.2.1.2.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.2.1.2.4
Sottrai da .
Passaggio 5.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 6
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7