Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 8})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 9$ e $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 3 x$ da $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma $3 \cdot 8$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Somma $24$ e $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x + 8$ .

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Passaggio 3.3.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elimina il fattore comune di $42$ e $4$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $2$ da $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$