Calcolo Esempi

$x^{2} + 5 x + 9 x y - y^{2} = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 9 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 9 x y - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x y$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 5 + 9 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 5 + 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - (2 y y')$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x + 5 + 9 (x y' + y) - 2 y y'$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 5 + 9 (x y') + 9 y - 2 y y'$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x + 5 + 9 x y' + 9 y - 2 y y'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$9 x y' - 2 y y' + 2 x + 9 y + 5$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$9 x y' - 2 y y' + 2 x + 9 y + 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x y' - 2 y y' + 9 y + 5 = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $9 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x y' - 2 y y' + 5 = - 2 x - 9 y$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x y' - 2 y y' = - 2 x - 9 y - 5$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $9 x y' - 2 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $9 x y'$ .

$y' (9 x) - 2 y y' = - 2 x - 9 y - 5$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (9 x) + y' (- 2 y) = - 2 x - 9 y - 5$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (9 x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (9 x - 2 y) = - 2 x - 9 y - 5$

Passaggio 5.3

Dividi per $9 x - 2 y$ ciascun termine in $y' (9 x - 2 y) = - 2 x - 9 y - 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $9 x - 2 y$ ciascun termine in $y' (9 x - 2 y) = - 2 x - 9 y - 5$ .

$\frac{y' (9 x - 2 y)}{9 x - 2 y} = \frac{- 2 x}{9 x - 2 y} + \frac{- 9 y}{9 x - 2 y} + \frac{- 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $9 x - 2 y$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (9 x - 2 y)}{9 x - 2 y} = \frac{- 2 x}{9 x - 2 y} + \frac{- 9 y}{9 x - 2 y} + \frac{- 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{9 x - 2 y} + \frac{- 9 y}{9 x - 2 y} + \frac{- 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{9 x - 2 y} + \frac{- 9 y}{9 x - 2 y} + \frac{- 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{9 x - 2 y} - \frac{9 y}{9 x - 2 y} + \frac{- 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{9 x - 2 y} - \frac{9 y}{9 x - 2 y} - \frac{5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - 9 y}{9 x - 2 y} - \frac{5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - 9 y - 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 9 y - 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- 9 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (9 y) - 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (9 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 9 y) - 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.6

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 9 y) - 1 (5)}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 x + 9 y) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 9 y + 5)}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.2.8.1

Riscrivi $- (2 x + 9 y + 5)$ come $- 1 (2 x + 9 y + 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 9 y + 5)}{9 x - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + 9 y + 5}{9 x - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 9 y + 5}{9 x - 2 y}$