Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Passaggio 2.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

Passaggio 9

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $3$ e per $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 10.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 10.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

Passaggio 10.2.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

Passaggio 10.2.5

Somma $\frac{81}{4}$ e $0$ .

$- \frac{81}{4}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{81}{4}$

Forma decimale:

$- 20.25$

Forma numero misto:

$- 20 \frac{1}{4}$

Passaggio 12