Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Passaggio 2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Calcola $x \sin (x)$ per $π$ e per $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Passaggio 3.1.2

Calcola $- \cos (x)$ per $π$ e per $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $π \sin (π)$ e $0$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$0 - (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 3.3.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

Passaggio 3.3.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - (- - 1 + 1)$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 - (1 + 1)$

Passaggio 3.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 - 2$

Passaggio 3.3.10

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$