Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{u_{2}}{2}$ per $e^{4}$ e per $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$4 e^{4} - 4$

Forma decimale:

$214.39260013 \dots$

Passaggio 7