Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica $2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

Passaggio 1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $e^{u}$ per $\ln (4)$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

Passaggio 5.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Passaggio 5.2.5

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{2}$

Passaggio 7