Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 - 4$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - 4 x$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - 4 x$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 2.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $- 7$ e per $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Passaggio 6.2.7

Sottrai $1$ da $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Passaggio 6.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{344}{12}$

Passaggio 6.2.13

Elimina il fattore comune di $344$ e $12$ .

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Passaggio 6.2.13.1

Scomponi $4$ da $344$ .

$\frac{4 (86)}{12}$

Passaggio 6.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{86}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{86}{3}$

Forma decimale:

$28.\overline{6}$

Forma numero misto:

$28 \frac{2}{3}$

Passaggio 8