Calcolo Esempi

$\int \arctan (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (2 x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x^{2} + 1$ . Allora $d u = 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{8}$ e $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} + 1$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$