Calcolo Esempi

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Allora $d u_{2} = \cot (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Riordina i fattori di $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 1.1.5.3

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1.1.5.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$