Calcolo Esempi

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$5 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 5$ .

$\frac{- 5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ come $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{15}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$