Calcolo Esempi

$\int 7 x e^{5 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int x e^{5 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 10 x e^{5 x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u_{2} = x e^{5 x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x^{2}$ .

$e^{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{5 x^{2}} (5 (2 x))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$e^{5 x^{2}} (10 x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{5 x^{2}} (10 x)$ .

$10 e^{5 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $10 e^{5 x^{2}} x$ .

$10 x e^{5 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$7 \int \frac{1}{10} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$ come $7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$ .

$7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$

Passaggio 4.2

$7$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} u_{2} + C$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{7}{10} e^{5 x^{2}} + C$