Calcolo Esempi

$\int 20 t^{3} e^{- t^{4}} d t$

Passaggio 1

Poiché $20$ è costante rispetto a $t$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$20 \int t^{3} e^{- t^{4}} d t$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = t^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = t^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$20 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$20 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$20 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $20$ .

$\frac{20}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $10$ per $1$ .

$10 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$10 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$10 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 10 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2.2.4

Dividi $- 5$ per $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- {u_{1}}^{2}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{2}} + C$