Calcolo Esempi

$\int 2 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\int 1 + \cos (2 x) d x$ per $1$ .

$\int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$x + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$