Calcolo Esempi

$\int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u_{2} + C$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $u_{2}$ per $1$ .

$u_{2} + C$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} + C$