Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Espandi ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(1 - u^{2})}^{2}$ come $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 5.5

Sposta $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 5.6

Sposta $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.11

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 5.13

Somma $2$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 5.14

Sottrai $u^{2}$ da $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 5.15

Riordina $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Passaggio 5.16

Sposta $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Passaggio 10

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Passaggio 12

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ e $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 13.1

Calcola $\frac{1}{5} u^{5} + u$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 13.2

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3

Semplifica.

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Passaggio 13.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.5

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.7

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.10

Somma $\frac{6}{5}$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 13.3.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 13.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 13.3.13.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 13.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 13.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 13.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 13.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Passaggio 13.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Passaggio 13.3.15

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Passaggio 13.3.16

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Passaggio 13.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Passaggio 13.3.18

Per scrivere $\frac{6}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 13.3.19

Per scrivere $- \frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 13.3.20

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.20.1

Moltiplica $\frac{6}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 13.3.20.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 13.3.20.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Passaggio 13.3.20.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 13.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 13.3.22

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.22.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 13.3.22.2

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Passaggio 13.3.22.3

Sottrai $10$ da $18$ .

$\frac{8}{15}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8}{15}$

Forma decimale:

$0.5\overline{3}$