Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sin (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (x)$ come $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 6

Espandi ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi ${(1 - u^{2})}^{2}$ come $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 6.5

Sposta $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 6.6

Sposta $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.11

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 6.13

Somma $2$ e $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 6.14

Sottrai $u^{2}$ da $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 6.15

Riordina $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Passaggio 6.16

Sposta $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 9

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 12

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Passaggio 14

$\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ e $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Passaggio 15

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 15.1

Calcola $\frac{u^{5}}{5} + u$ per $0$ e per $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Passaggio 15.2

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $0$ e per $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3

Semplifica.

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Passaggio 15.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

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Passaggio 15.3.2.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.7

Somma $1$ e $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.8

Sottrai $\frac{6}{5}$ da $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 15.3.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Passaggio 15.3.12

Sottrai $\frac{1}{3}$ da $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Passaggio 15.3.13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 15.3.14

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.3.15

Per scrivere $- \frac{6}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.3.16

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 15.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.17.1

Moltiplica $\frac{6}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 15.3.17.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 15.3.17.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Passaggio 15.3.17.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Passaggio 15.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 15.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.19.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 15.3.19.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Passaggio 15.3.19.3

Somma $- 18$ e $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Passaggio 15.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{8}{15}$

Passaggio 15.3.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Passaggio 15.3.22

Moltiplica $\frac{8}{15}$ per $1$ .

$\frac{8}{15}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8}{15}$

Forma decimale:

$0.5\overline{3}$