Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{2 x}{3}$ . Allora $d u = \frac{2}{3} d x$ , quindi $\frac{3}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{2 x}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $3$ da $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Passaggio 1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Passaggio 1.3.1.2.4

Dividi $2 \cdot 0$ per $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

$2$ e $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Passaggio 1.5.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Riduci l'espressione $\frac{2 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Passaggio 1.5.2.2

Dividi $π$ per $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Passaggio 2.3

$\cos (u)$ e $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Passaggio 2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{π}{3}$ e per $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Passaggio 6.4

Somma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forma decimale:

$1.29903810 \dots$