Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

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Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A x + B$ per $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ e $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.1.6.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.4

Dividi $(C x + D) (x^{2} + 1)$ per $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6.3

Espandi $(C x + D) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.1.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.6.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4.3

Moltiplica $D$ per $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.7.1

Sposta $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = D$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + C$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + D$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $1 = A + C$ con $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica $1 = A + 0$ .

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Passaggio 1.3.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Somma $A$ e $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $0 = B + D$ con $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Semplifica $0 = B + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Somma $B$ e $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3

Dividi $0$ per $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Passaggio 1.5.4

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ come $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$