Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x)}{2 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (x) + C$