Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{2 x}$ e $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\sin (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\sin (2 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 4.2

$\sin (2 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{2 x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 x) e^{2 x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2} \cdot - 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot - 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $\frac{2}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{- 2}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

Passaggio 7.8

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$ , troviamo che $\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Passaggio 9.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Passaggio 9.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Passaggio 9.1.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Passaggio 9.1.5

Combina.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - 2 \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.9

$- 2$ e $\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 \cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{- \cos (2 x) e^{2 x}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.10.2.4

Dividi $- \cos (2 x) e^{2 x}$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{4} + C$ come $\frac{1}{4} (\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}) + C$