Calcolo Esempi

$\int \sin^{3} (x) \cos^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int \sin^{3} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Espandi $u^{3} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(1 - u^{2})}^{2}$ come $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.8

Sposta $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.9

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.10

Sposta $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.11

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.12

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.13

Sposta $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.14

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.15

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 5.16

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.17

Sposta $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.18

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.19

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.20

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int u^{3} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.21

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{3} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.22

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{3 + 2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.23

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.24

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.25

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{3} - u^{5} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.26

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.27

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.28

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.29

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.30

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Passaggio 5.31

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 5.32

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Passaggio 5.33

Somma $5$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 5.34

Sottrai $u^{5}$ da $- u^{5}$ .

$\int u^{3} - 2 u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 5.35

Riordina $- 2 u^{5}$ e $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} - 2 u^{5} d u$

Passaggio 5.36

Sposta $u^{3}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{7} d u + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{8} (x)}{8} - \frac{\sin^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} \sin^{8} (x) - \frac{1}{3} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$