Calcolo Esempi

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

Passaggio 2.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Dividi $A (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Passaggio 2.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 2.1.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.6.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 2.1.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 2.1.7

Sposta $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A$

Passaggio 2.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Passaggio 2.3.4

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{1}{4} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{4} + B = 0$ .

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Passaggio 2.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

Passaggio 2.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- \frac{x}{4}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} + 4}$ per $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

Passaggio 2.5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

Passaggio 8

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Passaggio 15.1.2

$\ln (| x^{2} + 4 |)$ e $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $\frac{\ln (| x |)}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{\ln (| x |)}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

Passaggio 15.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

Passaggio 15.5.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Passaggio 15.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$