Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{2} - 3 x + 2$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					-	$4 x$	-	$4$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x - 4$

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					+	$4 x$	+	$4$
							+	$6$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x - 4 + \frac{6}{x + 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{6}{x + 1} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 d x + \int \frac{6}{x + 1} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + \int \frac{6}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6 \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6 \ln (| x + 1 |) + C$