Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x^{3} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Dividi $(x + 1) (x - 1)$ per $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Somma $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.6.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $A (x^{2} + 1)$ per $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.1.7.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1

Sposta $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.1.7.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.8

Sposta $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'equazione come $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $1 = - 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$