Calcolo Esempi

$y = x e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

Passaggio 4.4.2

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

Passaggio 4.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$